Considerando que la distribución exponencial está limitada, debido a que hace la suposición de una tasa de falla o función de riesgo constante, la distribución de Weibull puede ser definida para incluir una tasa de falla o tasa de riesgo creciente o decreciente. Ya que la mayor cantidad de fallas en campo, especialmente las partes mecánicas, muestran un aumento en la tasa de falla (debido a desgaste o deterioro del material), la distribución de Weibull es muy útil en describir patrones de falla de este tipo. A continuación se muestran curvas de diferentes tasas de falla (Hazard rate) o función de riesgo.
La tasa de falla o función de riesgo para la distribución Weibull se define como:
Donde:
β es el parámetro de forma de la distribución.
θ es el parámetro de escala o vida característica.
δ es el parámetro de localización.
La función de la densidad de probabilidad de la distribución Weibull para tres parámetros es:
Esta se puede representar con sólo dos parámetros (β, θ). La diferencia en las dos distribuciones es el parámetro de localización, δ, el cual recorre la distribución a lo largo del eje x. Por definición, hay cero probabilidad de falla para x < δ. Esto implicaría valores negativos en el parámetro de localización, lo cual significaría que los elementos fallan antes de la prueba.
Para el caso de δ = 0, θ = 1 y el parámetro de forma, β, con diferentes valores la función de distribución se ilustra en la siguiente figura.
La distribución de Weibull es utilizada extensamente en aplicaciones de confiabilidad para modelar los tiempos a la falla obteniéndose resultados adecuados de la confiabilidad.
La función acumulativa de la distribución para la distribución Weibull quedaría de la siguiente manera:
Y la función de confiabilidad sería:
Existe una gran variedad de software para hacer los cálculos de confiabilidad utilizando diferentes distribuciones.
Personalmente colaboré en un desarrollo para la CFE. Para calcular, dentro de un espectro de información, la confiabilidad de sus equipos críticos en algunas de sus centrales termoeléctricas utilizando el historial de fallas y mantenimientos realizados a sus equipos.