La evaluación por el método de máxima verosimilitud procura encontrar los valores más probables de los parámetros de la distribución para un conjunto de datos. Maximizando el valor de lo que se conoce como la “función de verosimilitud” La función de verosimilitud se basa en la función de la densidad de la probabilidad fdp para una distribución dada. Como ejemplo considere una fdp genérica:

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Donde x representa los datos (tiempo a la falla), y θ1, θ2, ...,θk son los parámetros que se estimarán y k el número de parámetros a evaluar. Por ejemplo para una distribución de Weibull de dos parámetros, β beta y θ theta son los parámetros que se deben estimar. Para un conjunto de datos de observación completa, la función de verosimilitud es un producto de la función de la densidad de la probabilidad, con un elemento por cada punto en el conjunto de datos:

metodo_2

R es el número de observaciones independientes que corresponden al tiempo a la falla en un análisis de ciclo de vida, xi es la iésimo tiempo a la falla. Matemáticamente es más fácil manipular esta función tomando su logaritmo. Luego la función logarítmica de la verosimilitud se expresa de la siguiente forma:

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Por lo tanto para encontrar los valores de los parámetros θ1, θ2, ...,θk se debe maximizar L ó Λ. Esto comúnmente se hace tomando la derivada parcial de la ecuación de Λ para cada uno de los parámetros e igualándolos a cero:

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Esto resulta en un número de ecuaciones con un igual número de variables, las cuales pueden resolverse simultáneamente. Si existen las soluciones de forma cerrada para las derivadas parciales la solución puede ser relativamente simple. En las situaciones donde no se da el caso, se necesitan emplear algunos métodos numéricos.

El método de estimación de máxima verosimilitud tiene varias propiedades que hacen atractiva su aplicación. Por ejemplo:

Es consistentemente asintótico, que significa que mientras que el tamaño de muestra aumenta, las estimaciones convergen a los valores correctos. Es asintótico eficiente, que significa que para conjuntos de datos grandes produce las estimaciones más exactas. Es asintótico imparcial, que significa que para conjuntos de datos grandes uno espera conseguir el valor correcto en promedio. La distribución de las estimaciones mismas es normal, si el conjunto de datos es bastante grande. Todas éstas son características excelentes para conjuntos de muestras grandes. Desgraciadamente, el tamaño necesario de la muestra para alcanzar estas características puede ser bastante grande: treinta a cincuenta hasta cientos de muestras de tiempos exactos de falla, dependiendo de la aplicación. Con pocas muestras, los métodos pueden ser desgraciadamente polarizados o tendenciosos. Se han conocido resultados, por ejemplo, que la estimación por máxima verosimilitud del parámetro de forma para la distribución Weibull ha sido polarización para tamaños de muestras pequeños, y el efecto puede aumentar dependiendo de la cantidad de datos censurados. Esta polarización puede causar discrepancias importantes en el análisis.

En general, la recomendación de la literatura es utilizar técnicas de regresión (gráficas de riesgo y probabilidad) cuando la muestra de datos es pequeña y sin censura. Cuando hay muchos datos censurados y/o cuando el tamaño de muestra es suficiente, Máxima verosimilitud (MLE) debe ser preferido.

Superficie de la función de verosimilitud

La representación tridimensional de la función logarítmica de la verosimilitud para dos parámetros, los parámetros están en los ejes Y y X, y los valores logarítmicos de la verosimilitud en el eje Z. En la siguiente gráfica es un ejemplo de la superficie de la función de verosimilitud para una distribución Weibull de dos parámetros. Los valores del logaritmo de la verosimilitud están normalizados a un valor de  100 %

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En esta gráfica “la cima” de la superficie de la función verosimilitud corresponde a los valores de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud.

Ejemplo de MLE para la Distribución exponencial

Este ejemplo es para una distribución de un solo parámetro y por lo tanto hay una sola ecuación diferencial a resolver. Además esta ecuación diferencial está en forma cerrada, debido a la naturaleza misma de la función de la densidad de la probabilidad. La función de verosimilitud para la distribución exponencial se representa a continuación:

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Donde lambda λ es el parámetro a estimar. Tomamos el logaritmo natural de la función de verosimilitud debido a que matemáticamente es más fácil de manipular tenemos la siguiente expresión.

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Si se deriva la ecuación con respecto a λ e iguala a cero se obtiene como resultado

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Reordenando los términos o resolviendo por λ la expresión queda:

metodo_9

Esta es la solución de forma cerrada para la estimación de la máxima verosimilitud para la distribución exponencial de un solo parámetro. Obviamente, este es el ejemplo más sencillo, pero sirve para ilustrar el proceso. La metodología es más compleja para distribuciones con múltiples parámetros o que no tengan una solución cerrada.

Referencias

  1. Gupta S., "Order Statistics from the Gamma Distribution", Technometrics, Vol. pp 243-262, 1962.
  2. Howard, B. T. y G. A. Dodson, "High Stress Aging to Failure of Semiconductor Devices", Proceedings of the Seventh National Symposium on Reliability and Quality Control, 1961.
  3. B. S. Dhillon, "Design Reliability Fundamentals and Applications", CRC Press, United States of America, 1999. TA 174.D4929
  4. Schafer Ray E., Singpurwalla Nozer D., Mann R. Nancy, "Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data", John Wiley & Sons.
  5. Información general de las distribuciones: Weibull, Exponencial, Normal y Log_normal www.itl.nist.gov/div898/handbook/.
  6. Beckwith, Thomas G., Buck, N. Lewis, Maragoni, Rod D., "Mechanical Measurements", Third edition, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1981
  7. http://www.weibull.com/
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