Considerando que la distribución exponencial está limitada, debido a que hace la suposición de una tasa de falla o función de riesgo constante, la distribución de Weibull puede ser definida para incluir una tasa de falla o tasa de riesgo creciente o decreciente. Ya que la mayor cantidad de fallas en campo, especialmente las partes mecánicas, muestran un aumento en la tasa de falla (debido a desgaste o deterioro del material), la distribución de Weibull es muy útil en describir patrones de falla de este tipo. A continuación se muestran curvas de diferentes tasas de falla (Hazard rate) o función de riesgo.
La tasa de falla o función de riesgo para la distribución Weibull se define como:
![definiciones_1](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 328 68'%3E%3C/svg%3E)
![definiciones_2](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 205 41'%3E%3C/svg%3E)
Donde:
β es el parámetro de forma de la distribución.
θ es el parámetro de escala o vida característica.
δ es el parámetro de localización.
![definiciones_3](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 426 194'%3E%3C/svg%3E)
La función de la densidad de probabilidad de la distribución Weibull para tres parámetros es:
![definiciones_4](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 260 81'%3E%3C/svg%3E)
Esta se puede representar con sólo dos parámetros (β, θ). La diferencia en las dos distribuciones es el parámetro de localización, δ, el cual recorre la distribución a lo largo del eje x. Por definición, hay cero probabilidad de falla para x < δ. Esto implicaría valores negativos en el parámetro de localización, lo cual significaría que los elementos fallan antes de la prueba.
Para el caso de δ = 0, θ = 1 y el parámetro de forma, β, con diferentes valores la función de distribución se ilustra en la siguiente figura.
![definiciones_5](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 588 247'%3E%3C/svg%3E)
La distribución de Weibull es utilizada extensamente en aplicaciones de confiabilidad para modelar los tiempos a la falla obteniéndose resultados adecuados de la confiabilidad.
La función acumulativa de la distribución para la distribución Weibull quedaría de la siguiente manera:
![definiciones_6](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 133 67'%3E%3C/svg%3E)
Y la función de confiabilidad sería:
![definiciones_7](data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' viewBox='0 0 129 80'%3E%3C/svg%3E)
Existe una gran variedad de software para hacer los cálculos de confiabilidad utilizando diferentes distribuciones.
Personalmente colaboré en un desarrollo para la CFE. Para calcular, dentro de un espectro de información, la confiabilidad de sus equipos críticos en algunas de sus centrales termoeléctricas utilizando el historial de fallas y mantenimientos realizados a sus equipos.